hi，告诉大家一个普天同庆的消息，我在01-10考《矩阵分析》、01-11考《数字信号处理》，这些天在这两本书里面钻来钻去，整个人都不好了。但是还算是稍有收获，就比如这傅里叶变换跟矩阵分析的关系。本科那会修《信号与系统》的时候，这傅里叶变换怎么看怎么不顺眼。
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x[n] = \frac{1}{2 \pi}\int_{2\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega
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X(e^{j\omega}) = \sum_ {n = - \infty} ^ {+ \infty }x[n] * e^{j \omega n}
$$
近来的复习让我觉得，傅里叶变换其实就是一个无限维空间中的一个内积操作，傅里叶变换得到的是频域上的一个函数，每一个频率值上的值是时域上信号的与
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…,e^{j\omega*(-1)}, 0, e^{j\omega 1},…
$$
的内积。
线性空间
在动态语言里面有个概念，duck type——走起路来像鸭子的就是鸭子，而下面的这两个概念则类似，满足了某些性质的对象就可以被称为线性空间(内积)，这些只是抽象上面的概念，并不规定具体的运算是怎么样的，只要满足了下列的性质即可。
什么是数域
一个包含0， 1 的集合，集合中的元素对于四则运算封闭，也就是说运算结果依旧是数域中的元素；
什么是线性空间
线性空间$V$其实就是一个对象的集合，在集合上面定义两种运算，这两种运算满足以下的一些规则：
加法运算，记为$+$， 加法是关于$V$中两个元素的函数，返回一个$V$中的元素(加法运算封闭)：
- 存在零元：$\exists e\in V, \forall \alpha \in V, \alpha + e = e + \alpha = \alpha$，记$e$ 为 $0;$
- 存在负元：$\forall\alpha \in V, \exists \beta , \alpha + \beta = 0$, 记 $\beta = - \alpha$;
- 满足结合律：$\forall \alpha, \beta, \gamma \in V, (\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma);$
- 满足交换律：$\forall \alpha, \beta \in V, \alpha + \beta = \beta+\alpha;$
数乘运算， 记为 $*$，数乘是关于一个数域$P$中的元素与一个$V$中的元素的函数，返回一个$V$中的元素(加法运算封闭):
- 存在单位元：$\forall \alpha, 1 * \alpha = \alpha$
- 满足结合律：$\forall k, l \in P, \alpha \in V, k(l\alpha) = (kl)\alpha$
- 满足分配律： $\forall k, l \in P, \alpha, \beta \in V, (k + l)(\alpha + \beta) = k\alpha + k\beta + l\alpha + l\beta$
什么是内积
定义在实数域上的线性空间中的某种运算，满足以下的性质：
- $\forall \alpha \in V, (\alpha, \alpha) \ge 0$，当且仅当$\alpha = 0$ 时，等号成立；
- $\forall k \in P, \alpha, \beta \in V, (k\alpha, \beta) = k(\alpha, \beta) $
- $\forall \alpha, \beta \in V, (\alpha +\beta, \alpha + \beta) \le (\alpha, \alpha) + (\beta,\beta)$
傅里叶变换
傅里叶变换中时域上的信号，其实是一个无限维的空间， 该空间以所有时刻上的单位冲激函数的集合作为基， 也就是说一个信号可以表示成为
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x[n] = \sum_k x[n] * \delta(n - k)
$$
所以一个信号在每一个时刻的值就是它在这个基下的表示。
在来看看傅里叶变换
$$
X(e^{j\omega}) = \sum_ {n = - \infty} ^ {+ \infty }x[n] * e^{j \omega n}
$$
与上一个式子相同也是相乘求和的形式，不同的是乘子从单位冲激函数变成了$e^{j\omega n}$, 即在这个表达式中，它把基换成了
$$
…, e^{j\omega *(-1)}, 0, e^{j\omega}, ….
$$
那么求取的$X(e^{j\omega})$,是什么呢？想想看x[n]是信号在$\delta$的基下的表示，类似的，$X(e^{j\omega})$ 是信号在新的基下的表示。所以傅里叶变换其实是同一个信号在不同的基下的表示
